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おきらく研究室:レイアウトと列車のページ鉄道模型

車輪の踏面勾配

更新履歴’03/3/7用語を変えました.

はじめに

曲線では外側のレールが内側よりも長いですよね.「図説鉄道工学」(三輪ほか,丸善株式会社)という本には曲線抵抗の筆頭として,長さの違いで起こる滑り摩擦を挙げています.そこで,長さの違いを吸収するために車輪にはテーパー角(車輪の外側ほど,車輪の半径が小さい)がついています.テーパー角のことを踏面勾配と呼ぶそうです.踏面勾配が何度ぐらいあればいいかを計算してみました.車輪を自作される方は滅多にいらっしゃらないでしょうから,直接役に立つことはないと思いますが,私は曲線での走行抵抗を検討したいので,その事前準備として検討してみました.

記号

回転半径差がなく通過できる最小の半径をRとします.車輪関係の記号は図1のように決めます.

記号説明図
図 1 車輪の記号


記号に対応する用語は下の表のとおりです..
記号
上図の記号慣用的に用いられる記号用語
車輪半径
G接触点間距離/2
φλ踏面勾配
Δ
フランジ遊間*

*Δ=[ゲージ — (2×チェックゲージ — バックゲージ)]/2 です.厳密には,接触点間距離はゲージよりも大きいのですが,車輪形状とレール形状とが決まらないと接触点間距離はわかりません.しかし,レール形状も車輪形状も事実上規定されていませんので,接触点間距離が求まりません.そこで接触点間距離≒ゲージとしました.



さて,ここで車輪が一回転したときのことを考えてみましょう.図2をご覧下さい.初期状態で車輪が北に向いている(車軸は東西に向いている)として,右カーブ(進路を東に変えていく)だとします.

内外輪差説明図
図 2 車輪の進む位置
(注:ゲージは慣例にしたがってbを使用.図1とは違います)



 車輪半径が同じだと図2のように,一回転したとき進む距離が違ってしまいます.そのため,踏面勾配をつけて回転半径差をつけることで,α=βとなるようにします.この条件を満たす踏面勾配は

 

です(このページの下に導出過程があります).




実物の計算例

実物に詳しい方から教えて頂いた数値(文責ははいでにあります)で計算してみました.
在来線新幹線
踏面勾配(rad)1/20(=0.05rad)1/40(=0.025rad)
フランジ遊間(mm)75
車輪半径(m)0.430.455
接触点間距離(m)0.550.72
曲線半径(m)6752600

この表から,実物では踏面勾配の効果で曲っていることがわかります.


模型の計算例

模型の踏面勾配がよく分からなかったので,曲線半径を既知として計算してみました.

16番
曲線半径(mm)600
車輪半径(mm)5.4
フランジ遊間(mm)0.6
接触点間距離(mm)16.8(*)/2
踏面勾配7.2
(*)呼び巾は16.5mmですが,NMRAのHO線路の規格(*)では下限値が16.5mm,上限値が17.1mmなので,その中間の16.8mmを用いました.(*:http://www.nmra.org/standards/s-3.html)

踏面勾配はだいたい約3°(実物の在来線とほぼ同じ)だそうですから,必要な踏面勾配の半分ぐらいしかありません.模型では回転半径差の補正できないようですね



今後

曲線での抵抗を計算してみたいと思います.



おきらく研究室:レイアウトと車両のページ by  はいで 

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(付録)踏面勾配の式の導出過程

車輪がカーブの外側に⊿だけ移動したとします.
 このときの外側の車輪の半径roは,踏面勾配がついているので

ro=r+⊿φ-------------------------(1)

となります.一方,内側の車輪の半径riは

ri=r-⊿φ-------------------------(2)

となります.

ここでレールの半径を考えてみます.
 曲線外側のレールの半径Roは

Ro=R+G-------------------------(3)

曲線内側のレールの半径Riは

Ri=R-G-------------------------(4)

となります.

さて,ここで車輪が一回転したときのことを考えてみましょう.図2をご覧下さい.初期状態で車輪が北に向いている(車軸は東西に向いている)として,右カーブ(進路を東に変えていく)だとします.

内外輪差説明図
図 2 車輪の進む位置
(注:ゲージは慣例にしたがってbを使用.図1とは違います)



 車輪が滑らないとしたときに,曲線外側の車輪が一回転して進む長さLoは

Lo=2πro ( =2π(r+⊿φ) )-------------------------(5)

です.一方,曲線外側のレール半径がRoなので円周は2πRoですから,車輪が一回転することで変わる車輪の進路βは,

β=2πro/(2πRo)-------------------------(6)

です.これを計算すると

 -------------------------(7)

となります.ここで,βの意味を再度もうしあげますと,進路が北から方位角βだけ東に変わることを意味します.同様にして,内側の進路角αを求めると

 -------------------------(8)

となります.回転半径差がなく車輪転がったら,内輪も外輪も進路角が同じなので,

 -------------------------(9)

となります.式(9)に式(7)(8)を代入して踏面勾配φについて解くと

 -------------------------(10)

となります.

式の考察

式(10)は無次元の項(r/R, G/⊿)の積になっていることにご注目下さい・

1)車輪の半径と曲線半径との比(r/R)

r/Rの値はゲージ・スケールにはあまり依存しません.大雑把に言えば,スケールが2倍かわると,rもRも同じに2倍になるからです.たとえば,実物で直径860mmの車輪を考えてみます.16番では半径が5.4mm,Nでは2.9mmになります.一方,16番の最小半径を600mm,Nの最小半径を280mmして計算してみました.下の表を御覧下さい.16番もNも大体同じですね.でも,12mmは,16番よりもゲージが狭いのに曲線の半径が大きいので,r/Rが大きめです.

r mmR mmr/R
16番5.46000.0090
12mm4.97320.0068
2.92800.0102
上の表から,だいたい

r/R≒0.009  です.

もう少しr/Rについて考えてみましょう.

車輪の半径rが大きいほど踏面勾配が大きくなります.
 レールの内外差が10%あったとします.車輪の径が10mmのものと5mmのものとがあるとしましょう.10mm径の車輪の10%は1mmですから,車輪の半径が1mmの差がつくような踏面勾配が必要です.一方5mmの径のタイヤは0.5mmだけの差がつくような踏面勾配で十分です.10mm径も5mm径も,フランジ遊間⊿が同じだとすれば,踏面勾配が2倍違ってきますよね.

曲線の半径Rが小さいほど踏面勾配が大きくなります.
 接触点間距離Gは一定ですので,曲線の半径が小さくなるほど,内のレールと外のレールとの半径の比が大きくなるからです.


2)ゲージと車輪の厚みとの比

G/⊿も,r/Rと同じようにゲージには依存しにくい値のはずです.16番の車輪と線路をそのままスケールダウンしてNゲージの車輪と線路を作れば,G/⊿は一定ですよね.具体例を表にまとめてみたところ,ゲージによって随分違いますね(笑).
⊿ mmG mmG/⊿
16番(ムサシノモデル)0.68.4 (=16.8/2)14.0
12mm(パブロ Φ9.5 プレート)0.256    (=12/2)24.0
9mm(NMRA規格)0.074.5  (=9/2)64.3
上の表から,HOjから16番ではだいたい

G/⊿≒25  です.


 なお,NMRAの規格は,ノミナル値ではなく,チェックゲージは上限値,バックゲージは下限値です.このため,G/Δが大きいのかもしれません.

注1:ムサシノの規格は右記URLから調べました.http://www.musashino-m.co.jp/special/special-1.htm
 注2:パブロ の規格は森井様のHP(右記URL)から調べました.http://www.morii.jp/railmodel/wheel.html
 注3:NMRA の規格は右記URLから調べました.http://www.nmra.org/standards/s-4.html

もう少しG/⊿について考えてみましょう.

この比は直感的に理解できると思います.接触点間距離の割にフランジ遊間が大きいかどうかという指標です.
 接触点間距離が大きいほど内外のレール長さの差が大きくなりますので,踏面勾配が大きくなります.
 フランジ遊間が少ないほど,わずかな⊿で車輪の半径差を稼がなければいけないので踏面勾配が大きくなります.スケール通りにしようとしてフランジ遊間⊿を小さくすると,踏面勾配φが(おそらく実物よりも)大きくなってしまうんですね・・・・・・・


実物の計算例(再掲出)

実物に詳しい方から教えて頂いた数値です.文責ははいでにあります.
在来線新幹線
踏面勾配(rad)1/20(=0.05rad)1/40(=0.025rad)
フランジ遊間(mm)75
車輪半径(m)0.430.455
接触点間距離(m)0.550.72
曲線半径(m)6752600

この表から,実物では踏面勾配の効果で曲っていることがわかります.


模型の計算例(再掲出)

模型の踏面勾配がよく分からなかったので,曲線半径を既知として計算してみました.

16番12mm
曲線半径(m)600732
フランジ遊間(mm)0.60.25
車輪半径(m)5.44.9
接触点間距離(m)16.812.0
踏面勾配14.111.0


HOjの踏面勾配は約3°(実物の在来線とほぼ同じ)だそうですから,必要な踏面勾配の1/3ぐらいしかありません.模型では回転半径差の補正できないようですね


今後

曲線での抵抗を計算してみたいと思います.

謝辞

稲葉清高さんにフランジ遊間やゲージの規格についてご教示いただきました.たいへん感謝しております.



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