補足：３次関数による緩和曲線の導出過程


ここでは，３次関数による緩和曲線の導出過程のご説明をいたしますが，正直言って，あまり説明が丁寧ではなく，私の忘備メモに近いのが現状です．とりあえず，中ほどの曲率（半径の逆数）の図（横軸：直線の延長の位置，縦軸：曲率）を見ていただければ，よろしいかと存じます．将来的には高校生の皆さんにも理解できるようにしたいものです．

第１段階　緩和曲線長さの誘導
まず，座標系を決めます．水平方向にｘ軸を，鉛直方向にｙ軸をとり，それぞれ右，上を正の向きとします．直線区間は水平で左から右に走り，原点で左旋回するものとします．
そこで緩和曲線を——————(1)
とおきます．これをベクトル表示して，緩和曲線の位置ベクトルをとすると，

——————(2)

とかけます．ここで，ｓは原点からの緩和曲線ぞいの長さ，はｘ方向の単位ベクトル，はｙ方向の単位ベクトルです．
さて，緩和曲線上の微小長さdsは，三辺法の定理から

——————(3)

です．したがって

——————(4)
——————(5)

ここで式(1)から

——————(6)

となります．これで横方向の位置xを指定すれば曲線の長さsがもとまります.

第２段階　接線ベクトルの誘導

接線ベクトルをとします．

——————(7)

ですが，いきなりをsで微分できないので，ｘで微分すると

——————(8)

となります．そこで，式（６），（８）を利用して




となります．

第３段階　曲率の誘導

曲率ベクトルを求めます．なお， (R:半径)です．

さて，——————(9)



でもとめられます．そこで——————(10)

となるので，は

——————(11)

となります．

　　ここで，気分をかえて，曲率（＝１／半径）の絶対値のグラフをご覧下さい．のグラフを下図に示します：横軸がx，縦軸が　（＝１／R)です.

=1/R
	位置　x　 図１　３次曲線の曲率

このグラフの特徴は

１）ｘ＝０で曲率が０，つまり緩和曲線の始まりでは直線です．


２）ｘがある値（この場合ｘ＝０．４付近）で曲率が最大になる．しかも，この付近では曲率は変化しない，つまり円の一部（弧）が存在する．
そこで，上図の場合，ｘ＝０で直線に，ｘ＝０．４付近で曲率１．７（半径＝1／１．７）の円にスムーズにつなげます．

第４段階　定数項aの決定

それでは，半径Roの円につなげるための定数項aもとめます．曲率が最大になるときのｘをxoとすると，式（１１）をｘで微分したものを０とおくと求まり,
——————(12)

のときです．そしてこのときの曲率は

——————(13)

です．ここでなので式（１３）から



となります．このaを式（１）に代入することで，半径Roを指定したときの緩和曲線が求まります．

第５段階　緩和曲線と本来の曲線との接続

ｘ=xoのときの緩和曲線の傾きは

となるので，xoにおける緩和曲線とｘ軸とがなす角度pは
(rad)
となります．これをdeg換算すると24.1°になります．したがって，Roにかかわらず，24.1deg向きを変えたところで半径一定の曲線に合流します．したがって，半径一定の円は24.1°のところで繋げばよいことがわかります．