３２． ライプニッツの公式をエクセルで検証
２０１１年５月４日。NHKの 「頭がしびれるテレビ」 という番組を観た。
番組は円周率「π」についてであった。伊東四朗が脳の老化防止のために円周率を記憶していることなどが紹介された後で、「ライプニッツの公式」が紹介された。
ライプニッツの公式とは次のようなものだ。
π／４ ＝ １ − １／３ ＋ １／５ − １／７ ＋ １／９ − １／１１ ＋ １／１３ − １／１５ ・・・・・・・
有理数を足し引きしていくだけで、無理数であるπに近付く点に感銘を受けた。しかも、分母は奇数が並ぶという簡単な規則。天才は目の付け所がやはり違うようだ。 WIKIPEDIA には証明が載っているが、tanθ（タンジェント）が登場した時点でお手上げである。
そんな私大文系の僕だが、公式をエクセル（オフィス２０１０）で検証することに、挑戦することにした。証明は分からなくても、規則性が簡単なのでエクセルで計算できると判断したのだ。一晩寝ながら考えて、試行錯誤のうえ、今朝作成したのが下の表である。
− − Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ −と＋を交互に。 分母 分数を小数で表示。 累計 ×４ πとの差異 １ − − − − １ − − ２ 数値 −１ ３ −０．３３３３３ ３３３３ ０．６６６６６ ６６６７ ２．６６６６６ ６６６７ ０．４７４９２ ５９８７ 式 −１ ３ ＝Ａ２＊（１／Ｂ２) ＝Ｄ１＋Ｃ２ ＝Ｄ２＊４ ＝ＰＩ（）−Ｅ２ ３ 数値 １ ５ ０．２ ０．８６６６６ ６６６７ ３．４６６６６ ６６６７ −０．３２５０７ ４０１３ 式 ＝Ａ２＊−１ ＝Ｂ２＋２ ＝Ａ３＊（１／Ｂ３) ＝Ｄ２＋Ｃ３ ＝Ｄ３＊４ ＝ＰＩ（）−Ｅ３
１）見やすくするために小数第５位でスペースを入れた。
２）エクセル（オフィス２０１０）では、円周率に３．１４１５９ ２６５３５ ８９７９と小数第１４位まで用いていることが判明した。
３）数式に誤りがある場合は、ご指摘をお願いします。
さて、３行目では円周率とはかけ離れた数値だが、行が増えていくにつれだんだんと近付いていく。
行 上表のＢ 上表のＥ 上表のＦ 備考 分母 ×４ 差異 １０ １９ ３．０４１８３ ９６１９ ０．０９９７５ ３０３５ 差異が０．１以下 １９ ３７ ３．１９４１８ ７９０９ −０．０５２５９ ５２５６ ３．１まで一致 ５０ ９９ ３．１２１５９ ４６５３ ０．０１９９９ ８００１ − １００ １９９ ３．１３１５９ ２９０４ ０．００９９ ９９７５ 差異が０．０１以下 １１９ ２３７ ３．１４９９９ ５８６７ −０．００８４０ ３２１３ ３．１４まで一致 ２００ ３９９ ３．１３６５９ ２６８５ ０．００４９９ ９９６９ − ３００ ５９９ ３．１３８２５ ９３３０ ０．００３３３ ３３２４ − ４００ ７９９ ３．１３９０９ ２６５７ ０．００２４９ ９９９６ − ５００ ９９９ ３．１３９５９ ２６５６ ０．００１９９ ９９９８ − ６００ １，１９９ ３．１３９９２ ５９８８ ０．００１６６ ６６６６ − ７００ １，３９９ ３．１４０１６ ４０８３ ０．００１４２ ８５７１ − ８００ １，５９９ ３．１４０３４ ２６５４ ０．００１２５ ００００ − ９００ １，７９９ ３．１４０４８ １５４３ ０．００１１１ １１１１ − １，０００ １，９９９ ３．１４０５９ ２６５４ ０．００１００ ００００ − １，００１ ２，００１ ３．１４２５９ １６５４ −０．０００９９ ９００１ 差異が０．００１以下 １，６６８ ３，３７５ ３．１４１００ ０２３７ ０．０００５９ ２４１７ ３．１４１まで一致 ２，０００ ３，９９９ ３．１４１０９ ２６５４ ０．０００５０ ００００ − ５，０００ ９，９９９ ３．１４１３９ ２６５４ ０．０００２０ ００００ − １０，０００ １９，９９９ ３．１４１４９ ２６５４ ０．０００１０ ００００ − １０，００１ ２０，００１ ３．１４１６９ ２６４４ −０．００００９ ９９９０ 差異が０．０００１以下 １０，７９４ ２１，５８７ ３．１４１５０ ００１０ ０．００００９ ２６６４ ３．１４１５まで一致 ２０，０００ ３９，９９９ ３．１４１５４ ２６５４ ０．００００５ ００００ − ５０，０００ ９９，９９９ ３．１４１５７ ２６５４ ０．００００２ ００００ − １００，０００ １９９，９９９ ３．１４１５８ ２６５４ ０．００００１ ００００ −
１００，０００行まで行っても、小数第４位までしか一致しないことが分かった。これが数学的に大きな誤差に当たるのかは、分からない。
ライプニッツは１６４６年にドイツで生まれ、１７１６年に亡くなっている。微積分は彼の発明によるところが大きいそうだ。２進法も彼の業績とのこと。
数学的素養がない私大文系でも、天才数学者の公式を検証することができた。現代文明の発展に感動する次第である。
