数学の難しい問題 です！from　 tasii
　（全画面でご覧下さい！）

１．　 エルデスーシュトラウスの予想
２．　 エルデスの予想
３．　 カタランの予想
４．　 完全数の問題
５．　 クィーンの問題
６．　 合同数の問題
７．　 ゴールドバッハの予想
８．　 コラッツー角谷の予想
９．　 コンウェイの問題
１０． 最古？のパズル
１１． 社交数の問題
１２． 整数の問題
１３． 正方形詰込み問題
１４． フェルマーの問題
１５． 双子素数の予想
１６． 郵便切手の問題
１７． リーマンの予想
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１．　エルデスーシュトラウスの予想

　ｎ　を　２　以上の任意の自然数とするとき

　４／ｎ　＝　１／ｘ　＋　１／ｙ　＋　１／ｚ　

　を満たす自然数　ｘ、　ｙ、　ｚ　が必ず存在する？

２．　エルデスの予想

　素数だけで任意の長さの等差数列が作れる？

３．　カタランの予想

　ａ，　ｂ　を自然数、ｘ、　ｙ　を　２　以上の自然数とするとき

　　ｘ　　　　　ｙ
　ａ　　−　ｂ　　＝　１　の解は、
　
　ａ　＝　３、　ｂ　＝　２、　ｘ　＝２、　ｙ　＝　３　に限る？　

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４．　完全数の問題

　自分自身を除いた約数の和が、自分自身に等しいものを完全数という。
　言い換えれば、自然数　ｎ　の全ての約数の和が　２ｎ　になる自然数が完全数である。
　例えば、６　の約数は、　１、　２、　３、　６　で、　
　１　＋　２　+　３　+　６　＝　２　ｘ　６　となり、　６　は完全数。
　　　　　　ｐ
　p　と　２　−　１　が共に素数であるものを、メルセンヌ数といい、偶数の完全数は、メルセンヌ数を用いて

　　ｐ−１　　ｐ
　２　　　（２　−　１）　の形に必ず表せることが分っていて、今('05)のところ、　ｐ　は　３９　('89年当時33)個見付かっている。

　ｐ　＝　２、　３、　５、　７、　１３、　１７、　１９、　３１、　６１、　８９、　１０７、　１２７、　５２１、　６０７、　１２７９、　２２０３、　２２８１、　３２１７、　４２５３、　４４２３、　９６８９、　９９４１、　１１２１３、　１９９３７、　２１７０１、　２３２０９、　４４４９７、　８６２４３、　１１０５０３、　１３２０４９、　２１６０９１、　７５６８３９、　８５９４３３、　１２５７７８７、　１３９８２６９、　２９７６２２１、　３０２１３７７、　６９７２５９３、　１３４６６９１７

　（１）　奇数の完全数は存在するか？
　（２）　完全数はいくつあるか？

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５．　クィーンの問題

　ｎ　行　ｎ　列のチェス盤の上に、　ｎ　個のクィーンを配置する。
　クィーンは、縦、横、斜めに（離れていても）攻撃できます。
　どのクィーンも互いに攻撃できない配置は何通りあるか？

　ｆ（ｎ）　通りとすると、
　ｆ（１）＝１、　ｆ（２）＝０、　ｆ（３）＝０、　ｆ（４）＝２、　ｆ（５）＝１０、　ｆ（６）＝４、　ｆ（７）＝４０、　ｆ（８）＝９２、　ｆ（９）＝３５３、　・・・・

６．　合同数の問題

　（１）　自然数　ｎ　を面積とする３辺が有理数である直角３角形が存在するとき、　ｎ　を合同数という。
　どのような自然数　ｎ　が合同数になるか？
　（２）　ｎ　を　ｎ　＝　８ｋ　−　３、　８ｋ　−　２、　８ｋ　−　１　（　ｋ　は自然数）を満たす平方因子を持たない数とするとき、
　ｎ　を面積とする３辺が有理数である直角３角形が必ず存在する？

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７．　ゴールドバッハの予想

　２　より大きな偶数は、２個の素数の和で表せる？
　例えば、２０迄の偶数は、２個の素数の和で表せる。
　　４　＝　２　+　２
　　６　＝　３　+　３
　　８　＝　３　+　５　
　１０　＝　３　+　７　＝　５　+　５
　１２　＝　５　+　７
　１４　＝　３　+　１１　＝　７　+　７
　１６　＝　３　+　１３　＝　５　+　１１
　１８　＝　５　+　１３　＝　７　+　１１
　２０　＝　３　+　１７　＝　７　+　１３
　　・
　　・

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８．　コラッツー角谷の予想

　ａ　　を任意の自然数として、　
　　１　　　　　　　　　　　　　　　　　


　ａ　　が奇数のとき、　ａ　　　　　＝　（　３ａ　　＋　１　）／　２
　　ｎ　　　　　　　　　　　　　ｎ　+　１　　　　　　　ｎ


　ａ　　が偶数のとき、　ａ　　　　　＝　ａ　　／　２
　　ｎ　　　　　　　　　　　　　ｎ　+　１　　　　ｎ


　で計算される数列　｛　ａ　　｝　は、必ず　１　を含む？
　　　　　　　　　　　　　　　　ｎ

　例えば、　ａ　　＝　３　の場合、　３　→　５　→　８　→　４　→　２　→　１
　　　　　　　　１

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９．　コンウェイの問題

　１　から　ｎ　迄の数字の書かれた　ｎ　枚のカードが積まれている。
　一番上のカードの数字の枚数だけ、上からカードを取り、その順番を逆にして戻す。
　この操作を繰り返すと、必ず　１　が一番上にくる。
　操作の回数は、最初のカードの並び順によるが、最高何回の操作が必要か？
　例えば、　ｎ　＝　４　の場合
　　２４１３　→　４２１３　→　３１２４　→　２１３４　→　１２３４
　操作の最高回数を　ｆ（ｎ）　とおくと
　　ｆ（１）＝０、　ｆ（２）＝１、　ｆ（３）＝２、ｆ（４）＝４、ｆ（５）＝７、　ｆ（６）＝１０、　ｆ（７）＝１６、　ｆ（８）＝２２、　・・・・

　
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１０． 最古のパズル

　セント・アイヴズへ行く途中、７人の妻を連れた１人の男に遭い、
７人の妻はそれぞれ７つの袋を抱かえ、どの袋にも７匹の猫が入っていた。
猫にはそれぞれ７匹の子猫がいた。
　セント・アイヴズへは、子猫、猫、袋、妻を合わせたら幾つ行くことになるか？

　この内容とそっくりの問題が、ＢＣ１６５０年頃、エジプトの書記アー・モセの
手になる写本巻物リンド・パピルスに書かれている。

１１． 社交数の問題

　ａ　　は自然数、　ａ　　を除いた　ａ　　　の約数の和を　ａ　　
　　１　　　　　　　　　　１　　　　　　　　　１　　　　　　　　　　　　２
　　　
　ａ　　を除いた　ａ　　　の約数の和を　ａ　　・・・・・
　　２　　　　　　　　　２　　　　　　　　　　　　３

　自然数　ａ　　の約数の和を　Ｓ　　と置けば、　ａ　　　＝　Ｓ　　−　ａ
　　　　　　　ｎ　　　　　　　　　　　　ｎ　　　　　　　　　　ｎ+１　　　　　ｎ　　　　　ｎ


　この数列　｛　Ｓ　　｝　が周期を持つとき、これを社交数という。
　　　　　　　　　　　ｎ

　特に、周期１の社交数は完全数であり、周期２の社交数は親和(友愛）数という。

　｛２２０、２８４｝は、周期２の社交数で、親和数です。
　　２２０　の約数は、　１、　２、　４、　５、　１０、　２０、　２２、　４４、　５５、　１１０、　２２０
　　２２０　以外の約数の和は、　１　+　２　+　４　+　５　+　１０　+　１１　+　２０　+　２２　+　４４　+　５５　+　１１０　＝　２８４
　　２８４　の約数は、　１、　２、　４、　７１、　１４２、　２８４
　　２８４　以外の約数の和は、　１　+　２　+　４　+　７１　+　１４２　＝　２２０

　他の周期２の社交数の例
　｛１１８４、１２１０｝:ニコロ、　｛２６２０、２９２４｝、　｛１２２８５、１４５９５｝、｛１７２９６、１８４１６｝:フェルマ、｛９３６３５８２、９４３７０５６｝:デカルト
　周期５の社交数の例
　｛１２４９６、１４２８８、１５４７２、１４５３６、１４２６４｝

　（１）　奇数と偶数がペアになった周期２の社交数（親和数）は存在するか？
　（２）　周期３の社交数は存在するか？


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１２． 整数の問題
　　　　　　　　　　　　　　　　　２
　（１）　ｎ　を自然数とし、　ｎ　　＋　１　が、素数となるものは、何個あるか？

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３　　　　３　　　　３
　（２）　ｎ　を任意の整数とするとき、　ｎ　＝　ｘ　＋　ｙ　＋　２ｚ　
　　　を満たす整数　ｘ、　ｙ、　ｚ　が必ず存在する？


１３． 正方形詰込み問題

　１辺の長さが１の正方形を、単位正方形徒呼び、
　正方形の中に　ｎ　個の単位正方形を重ならないように配置するとき、
　この正方形の１辺の長さの最小値は？

　１辺の長さの最小値を　ｆ（ｎ）　とすると
　　ｆ（１）＝１、　ｆ（２）＝Ｆ（３）＝Ｆ（４）＝２、　ｆ（５）＝２＋１／√２、　・・・

　　　　２
　　ｆ（ｎ　）＝ｎ　

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１４．フェルマーの問題

　（１）　フェルマー数の問題
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｎ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２
　　ｎ≧０　の整数　ｎ　を用いて、　Ｆ　　＝　２　　　＋　１　　　の形をした素数を
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｎ

　　フェルマー数という。　フェルマー数は次の５個だけか？

　　　Ｆ　　＝３、　　Ｆ　　＝５、　Ｆ　　＝１７、　Ｆ　　＝２５７、　Ｆ　　＝６５５３７
　　　　０　　　　　　　　　１　　　　　　　　　２　　　　　　　　　３　　　　　　　　　　　４

　　（２）　フェルマー商の問題

　　ｐ　を素数、　ｎ　を自然数とするとき

　　　　ｐ−１　　　　　　２
　　　２　　　　＝　ｎｐ　　＋　１　　を満たす　（ｐ，ｎ）　は何組あるか？
　
　（おまけ）　フェルマーの最終定理　（Ｆｅｒｍａｔ’ｓ　Ｌａｓｔ　Ｔｈｅｏｒｅｍ）
　数学界の難問として有名なこの定理は、ギリシャ時代のピタゴラスの定理が、
平面上での２次式であったのを、１７世紀フランスの数学者フェルマーが、
３次元以上に拡張し、３次元以上では存在しない　というものである。
　彼が残したものは、彼が気に入っていた一冊の本の欄外に、こう記した・・・
「私はこの定理のすばらしい証明を発見した。だが、それを記すには、この欄外は狭すぎる」
　フェルマーの死(1665)後、多くの数学者が挑戦し、１９０８年独の数学者
ヴォルフシュケールが、最初に証明した人に10万マルクの賞金を与えると遺言した　
ことから、更に多くの関心を集めたが、３００年以上の間証明されていなかった。
１９９４年米プリンストン大学のアンドリュー・ワイルズ教授とかっての教え子の
ケンブリッジ大学のローレンス・テイラー教授と共同で証明に成功したと言われている。
　１年前の６月にケンブリッジのアイザック・ニュートン研究所がワイルズ教授が
証明に成功したと発表したが、専門家から論文の誤りを指摘され、彼もこれを認め、
１年後完全なものとした。　この証明に、日本人の　谷村=志村　予想が役立っている。
　このフェルマーの最終定理の解説は、サイモン・シン(Simon　Singh)氏の著作があり、
日本語訳は新潮社から発売されている。

　（おまけのおまけ）　ピタゴラスの定理
　少し古い話になりますが、１９４０年に刊行された「ピタゴラスの定理」と題された本に
米国のガーフィールド大統領のものも含め３７０通りの証明が載っていて、
最も多くの方法で証明されたとされている。

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１５．双子素数の予想

　ｐ　と　ｐ＋２　の両方が素数になるものを、双子素数という。
　例えば、　（３，５）、　（５，７）、　（１１，１３）、　（１７，１９）、　（２９，３１）、
（４１，４３）、　（５９，６１）、　（７１，７３）、　（１０１，１０３）、　・・・、
　　　　　　　　　　１１２３５　　　　　　　　　　　　　１１２３５
（１７０６５９５ｘ２　　　　−１、１７０６５９５ｘ２　　　　＋１）　1989年現在

　（１）　双子素数は無限にある？
　（２）　ｎ　番目の素数を　ｐ　　としたとき
　　　　　　　　　　　　　　　　　ｎ

　　　　２　　　　　２
　　　ｐ　　　と　ｐ　　　　との間に、双子素数が必ず存在する？
　　　　ｎ　　　　　　ｎ＋１

　
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１６．郵便切手の問題

　切り離されていない　ｎ　枚の一列に並んだ切手を考え、一枚の切手の上に全てを折り込む。
　左端の切手を表向きに一番上に折り込む方法は何通りか？

　Ｔ（ｎ）　通りとすると、
　Ｔ（１）＝１，　Ｔ（２）＝１，　Ｔ（３）＝２，　Ｔ（４）＝４，　Ｔ（５）＝１０、　Ｔ（６）＝２４，　・・・
　

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１７．リーマンの予想
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∞　　　　　　ｚ
　ｚ　を複素数として、　ζ（ｚ）　＝　∑　１／　ｎ　　をリーマンンのゼータ関数という。　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｎ＝１　

　０　＜　Ｒｅ（ｚ）　＜　１　の範囲で　ζ（ｚ）　＝　０　の解は全て　Ｒｅ（ｚ）＝１／２である。
　Ｒｅ（ｚ）　は、複素数　ｚ　の実数部分を表す。

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