この聴解問題に出ている「仕事を変わりました」というのは、つまり、「転職した」という意味で使われています。
　「仕事を変わる」という用法が実際に使われているのかどうか調べてみました。「Yahoo　JAPAN」のサイトで調べたところ、以下のような数字でありました。（関連表現である「仕事を変える」「仕事が変わる」も同様に調べてみました。）

「仕事を変わる」を含むサイト　２０７件

「仕事を変える」を含むサイト　９２４件

「仕事が変わる」を含むサイト　８０２件

　まず、「仕事を変わる」の用例の中の第４１番から６０番のサイトを調べたところ、すべて「転職する」という意味で使われていた。例えば、（サイト名は煩雑なので記さない。以下同様に）

・町立中央保育園園長○○さんにお聞きしました。「子供の病気の為にお仕事を休まれると何回もそれが繰り返されると仕事にいけなくなったりして何度も仕事を変わるお母さんもいらっしゃるんです。

・カナダでは、大学卒業から40歳くらいまでの間に４回くらい仕事を変わることも例外ではない。しかも、会社を変わるというだけでなく職種も変わることが多い。

　というような文である。

　次に「仕事を変える」の用例中の第４１番から６０番のサイトを調べたところ、「転職する」という意味で使っているのが９件、「仕事の内容や方法を変える」という意味で使っているのが９件、判別不能なのが２件でした。例えば、

・七色の時代；次世代ネットとは何か；次世代ネットが仕事を変えるほか

 ・できる人が仕事を変える！会社を変える...

・タイの人はよく仕事を変えると言われます。同じ職場で毎年の昇給・昇格を待つよりも転職することで大幅な昇給・昇格を成し遂げるのです。

・仕事内容が肌に合わず、３回ほど仕事を変える。.ある日...

というような文である。

最後に「仕事が変わる」の用例中の第４１番から６０番のサイトを調べたところ、「転職する」という意味で使っているのが５件、「仕事の内容や方法、様子」が変わるという意味で使っているのが１０件、判別不能が５件であった。

判別不能というのは、サイトの本文ではなく、検索で出てきた短い部分だけを見ているので、その部分では判断出来ないということである。

・本セミナーでは、マイクロソフトの新製品Ｏｆｆｉｃｅ２００３でどう仕事が変わるかを実践、また、

・地方分権と小規模自治体−町村会の役割を考える−.役場の仕事が変わる....

・一人親が結婚して住所、姓等が変わる場合。仕事が変わる場合。. ≪注意≫世帯主が変わると、保育料が変わる場合があります。.

・住所が変わる、生活習慣が変わる、仕事が変わると何から何まで変わってしまって、で、おまけにスキーまであって大変なのです。

以上をまとめるとこういうことになる。

「仕事を変わる」は「転職する」という場合によく使われる。「仕事を変える」「仕事が変わる」は「転職する」という場合と「仕事の内容、やり方など　を変える／が変わる」という場合に使われる。

　　コンピュータは仕事を変えました　→〜を変える（他動詞）（仕事の内容ややり方を変える）

今の仕事がつまらないのなら、仕事を変えたらどうですか。　→を変える（他動詞）（転職する）

　　今年から仕事が変わりました　→〜が変わる（自動詞）（転職する・仕事の内容ややり方が変わる）

　　というふうになります。これらはすべて正しい。

　ここで質問に出たのが「仕事をかわる」である。「変わる」は自動詞なので、普通「を」をともなわない。しかし、このような表現はけっこう広範囲に使われている。

会社を変わる（転職）

（釣りの）場所を変わる。（ポイント移動）

アパートを変わりました。（転居）

今度、部署を変わりました。（人事異動）

学校を変わる。（転校）

大学を変わる。（編入）

職場を変わる（転職）

病院を変わる。（入院先変更）

守備位置を変わる。（変更・移動）

クラスを変わる（変更・移動）

などである。

　「変わる／変える」というのは、その動作・作用のが対象物に及んで、その対象物がAからＢになる（変化する）という意味である。Ｂになった結果、Ａはもはや存在しない。

　いろいろな名詞で考えてみよう

　　これは

公園を散歩する

橋を渡る

空を飛ぶ

１２時を過ぎる

正午を回る

の表現形式（「を」は移動をする空間を表す）と同じであると考えられる。

こういう文もある

　　山田は会社を転々と変わった。

　　山田は仕事を３０回も変わった。

　したがって、質問のあった聴解練習の文は正しいと思います。